{an}和{bn}满足bn=(a1+2a2+.....+nan)/(1+2+......+n) 求证：（1）若{bn}为等差数列，{an}也是等差数列

设{bn}公差为d
bn=(a1+2a2+.....+nan)/(1+2+......+n)=(a1+2a2+.....+nan)/[n(n+1)/2]
[n(n+1)/2]bn=a1+2a2+.....+（n-1）a(n-1)+nan-------------（1）
[n(n-1)/2]b(n-1)=a1+2a2+.....+nan-----------------------（2）
其中a(n-1)和b(n-1)分别表示{an},{bn}的第n-1项。
（1）-（2）得
[n(n+1)/2]bn-[n(n-1)/2]b(n-1)=nan
即：(n^2/2)[bn-b(n-1)]+(n/2)[bn+b(n-1)]=nan
所以an=(n/2)d+(1/2)[bn+b(n-1)]

a(n+1)-an=[(n+1)/2]d+(1/2)[b(n+1)+bn]-(n/2)d-(1/2)[bn+b(n-1)]
=(1/2)d+(1/2)[b(n+1)-b(n-1)]
=(1/2)d+(1/2)*2d
=(3/2)d
所以a(n+1)-an为常数
所以{an}是等差数列